Matematik, genellikle “kesinlik”le ilişkilendirilir. Sık sık gündelik hayatta, “Bunu iki kere ikinin dört ettiği gibi biliyorum” denir mesela.

Gerçekten de her şart altında iki kere iki dört eder.

Ama bunun matematiğin tamamı için geçerli bir gerçek olmadığını söylesem şaşırır mısınız?

Bundan 125 yıl önce, büyük Alman matematikçi David Hilbert, çok iddialı bir amaçla yola çıktı: Matematiğin her alanının iki kere iki dört eder kesinliğinde olduğunun gösterilmesini, “matematiksel gerçek” adı verilen gerçeğin sağlam temellere kavuşturulmasını istedi.

Bunu istedi, çünkü daha o zaman çözümünün ne olduğu bilinmeyen problemler vardı matematikte. Sadece çözümü en azından Hilbert’e göre henüz olmayan problemler yoktu, bir de bu kategorinin bir alt başlığı gibi duran, doğru mu yanlış mı olduğu (en azından henüz) kestirilemeyen matematiksel önermeler vardı.

Hilbert 1900 yılında, matematikçilerden bir an önce çözmelerini isteyerek 23 tane problem sıraladı.

Bu problemlerden 10 numaralı olanı şöyleydi: Bütün Diofantos denklemlerinin tam sayılar için bir çözümü olduğuna dair bir algoritma olabilir miydi?

“Diofantos denklemleri” milattan sonra 3. yüzyılda yaşadığı düşünülen İskenderiyeli matematikçi Diofantos’dan adını alan denklemler.

Bunların en basit örneği x+y=1 diyen denklem mesela. 

Hepimizin okulda ezberlediği Pisagor denklemi (x kare+y kare=z kare) örneğin tipik bir Diofantos denklemi.

Bu denklemler için öne sürülen şartı hiç unutmayın: Kullandığınız bütün sayılar tam sayılar kümesine üye olacak.

Örneğin x kare + y kare= 5 basitçe çözülen, hatta birden fazla çözümü olan bir Diofantos denklemiyken x kare+ y kare= 3’ün tam sayılar için bir çözümü yok.

Neyse çok dağılmadan Hilbert’e geri döneyim. Onun 23 sorusu ve gösterdiği çaba Kurt Gödel isimli Avusturyalı bir matematikçi-mantıkçı tarafından yerle bir edildi. Gödel, matematikte bazı önermelerin doğruluğunun veya yanlışlığının kanıtlanamayacağını gösterdi. Gödel’in bunu yapmasıyla Hilbert’in rüyası sona erdi ve tamamen başka bir dünyanın kapısı aralandı:

Matematiğin her alanı iki kere iki dört kesinliğinde değildi.

Gödel’i birkaç yıl sonra büyük İngiliz matematikçi Alan Turing izledi. Turing, 1936 yılında matematikte Kurt Gödel’in söylediği “karar verilemez” önermelerin herhangi bir algoritmayla çözülemeyeceğini gösterdi.

Bugün adına “Turing Makinesi” denen bir hipotetik makine var. Alan Turing bu makineyi “Bütün matematikçilerin yerine geçecek, matematikçi denen insanı gereksiz kılacak bir algoritma mümkün müdür” sorusuna cevap olarak hayal etmişti.

Baktığınızda Turing’in hayali ile Hilbert’in hayali hiç de birbirine uzak şeyler değildi yani. Ama bir fark vardı: Turing daha o sırada bunun imkansız olduğunu biliyordu.

Onun sorusu şuydu: Kurt Gödel’in tanımladığı karar verilemez önermeleri bu hayali bilgisayara versek ve çözmesini istesek, bilgisayar muhtemelen sonsuza kadar bunu çözmeye uğraşacaktı.

Ama bir de bilgisayarın çözmeye çalışırken ortada bir yerde çalışmayı durduracağı önermeler vardı.

Peki acaba hangi problemde makinenin sonsuza kadar çalışacağını, hangi problemde makinein bir noktada durup çözüm sunacağını önceden tahmin etmenin bir yolu olabilir miydi?

Bilgisayar biliminde “halting problem” olarak bilinen bu problem, aslında Turing’in “Hangi önermeler karar verilemezdir, hangi önermelerin bir cevabı vardır” diye sormasının başka bir yoluydu.

Az önce size Pisagor Teoremini örnek verdim: x kare+y kare= x kare.

Ama bir de meşhur Fermat’ın Son Teoremi var, matematikçileri bir hayli uzun süre meşgul etmiş olan. Onu hatırlayalım:

x üssü n+y üssü n=z üssü n

Bu denklem bütün sayıların tam sayı olması şartıyla kanıtlanabilir mi?

Bugün biliyoruz ki bu değişkenlerden en az birinin 0 olması dışında bu denklemin bir çözümü yok.

Buradan yeniden Hilbert’in 10. problemine geri döneyim. 1970 yılında bir Rus matematikçi, Yuri Matiyaseviç, Diafantos denklemleri için bir genel algoritma yapılamayacağını kanıtladı. Yani Hilbert’in 10. sorusu “karar verilemez” bir soruydu.

Böylece matematiğin bilinemez alanı biraz daha genişledi. Şimdi, yakın zamanda iki matematikçi, Matiyaseviç’in kanıtını daha da geliştirdi ve aynı şeyi bir kez daha söyledi.

Gödel kanıtlamasından beri biliyoruz zaten ama matematikçiler dönüp dönüp aynı konunun etrafına girmeye, farklı yollar denemeye devam ediyorlar, her seferinde de aynı kapıya çıkıyorlar: İnsan bilgisinin sınırları var.

Buradan hemen metafizik sonuçlara uçuş yapmayı hayal edenleri de uyarayım: Aslında iyi ki de var. Yoksa makineleri koyardık, her problemi onlar çözerdi ama şimdi her problemin bir çözümü olmadığını bildiğimiz için insanlara ihtiyacımız var.

Yapay zekadan korku da tam bu sebeple yersiz bir korku. 

Nihayetinde korkmanıza gerek yok; çünkü biliyoruz ki her şeyi yapabilen, her problemi çözebilen bir makina mümkün değil, bunu yapmaya kalkışan bir makina günün birinde ortaya çıkarsa başına geleceği de daha 1936’da Alan Turing söylemişti: Tek bir sorunun cevabını bulmak uğruna sonsuza kadar çalışmak zorunda kalıp geri kalan işleri yapamaz.